【急>_<】已知f(x)=√(1+x^2),当a≠b时,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|

1）证明：为方便起见，令a>b，则欲证式成为：
√(1+a^2)-√(1+b^2)<a-b
上式左端分母看作1，分子分母同乘以：√(1+a^2)+√(1+b^2)，得
[(1+a^2)-(1+b^2)]/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]<a-b
(a^2-b^2)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]<a-b
(a+b)(a-b)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]<a-b
因为a-b>0，所以上式两边同时除以(a-b)，得：
(a+b)/[√(1+a^2)+√(1+b^2)]<1
a+b<√(1+a^2)+√(1+b^2)
于是，要证原式成立，就等价于证上式成立。
当a<0时，√(1+a^2)>a，明显成立。
当a>0时，则1+a^2>a^2，两边同时开平方得：√1+a^2>a，
同理，√1+b^2>b也成立。
相加即得：
a+b<√(1+a^2)+√(1+b^2)

因此，倒推即可。

2）解：A=[1,2] B=(负无穷，1-a]并[1+a,正无穷）
若A∩B=空集则1-a<1,1+a>2
解方程组得到a>1